Глава 8. Развитие арифметических операций

Известно, что принцип упорядочения, т. е. придания количеству известной структуры, дающей возможность охватить определенное множество на глаз, остается до сих пор основным принципом психологии операций с множеством. Мы гораздо легче заметим отсутствие солдата в роте солдат, чем отсутствие человека в неупорядоченной толпе. Если мы слушаем песню или стихи и если выпадает один такт или один слог, то, хотя мы и не знаем этих тактов или слогов, но непосредственно на слух мы почувствуем пропуск. Так поступает и ребенок. Он берет неупорядоченную кучу предметов, строит их в ряды, как бы роту солдат, и сразу видит, что одного не хватает. Дети понимают служебное значение упорядочения. Это выражается в следующем. Дети, которые привыкли строить из кубиков, очень рано начинают проверять результаты деления тем, что из кубиков или шашек строят предметы, например складывают модель трактора. Все дети складывают так же, и каждый видит, хватило ли кубиков на трактор. Дети сверяют результаты деления просто по тракторам. Примечательно, что дети относятся к складыванию фигур не как к самоцели, но как к арифметической игре, а именно как к средству и доказательству. Если все складывают трактор, а один ребенок говорит: «Я сложил часы»,—то дети будут требовать, чтобы он сломал свои часы и сделал трактор. Надо, чтобы было сложено что-то сравнимое. Это уже единица исчисления. Дети протестуют, когда все складывают трактор, а один—часы. Они видят, что этим они лишаются средства проверить, что здесь нет общего знаменателя.

Еще интереснее те случаи, когда в эксперименте мы затруднили момент проверки. Детям нужно было разделить ряд карандашей различного цвета, формы и величины. Это—не кубики, не шашки, которые совершенно одинаковы и из которых легко сложить трактор. Дети поступают так, как с точки зрения их арифметики совершенно правильно, а с точки зрения нашей—неверно. Они начинают с того, что раскладывают группы карандашей,—все они оказываются разными. Дальше дети пытаются уравнять эти группы. Один карандаш выше, другой ниже... И тут дети начинают складывать из карандашей палочки. Все карандаши укладываются в одну палочку и каждый получает по такой палочке. Но у одного будет пять коротких, а у другого—две длинные. С точки зрения арифметики это неправильное деление, а с формальной точки зрения, к которой прибегает ребенок,—правильное.

Еще один в высшей степени важный момент заключается в следующем. У нас остаток не может быть больше делителя; у детей бывает иначе. Ребенок осуществляет раздачу при помощи «тракторов». Деление заключается в следующем: дети сразу отбирают по нескольку «тракторов» или «часов». На каждый трактор уходит шесть шашек, а участников игры четыре. Представьте, что у ребенка в результате остается пять шашек. Можно ли разделить их между четырьмя детьми? Можно, но из пяти шашек нельзя построить трактор; в результате для ребенка пять шашек—число, превышающее делитель, оказывается в остатке. Это—величина, которую при данном способе деления невозможно разделить.

В указанном факте мы видим экспериментальное доказательство того, что такое деление есть уже опосредованная операция. Можно отказаться разделить между четырьмя участниками пять шашек и рассматривать их как остаток. Но здесь ребенок делает не на глаз, он выбирает известную фигуру—трактор или часы, которая служит какой-то мерой как единица. И если единица состоит из шести шашек или кубиков, то пять шашек оказываются в остатке, т. е. создается ситуация, которая невозможна при непосредственной арифметике.

В переходе от непосредственной арифметики к опосредованной, от реакции на глаз к реакции, которая в качестве вспомогательного средства прибегает к трактору, часам, палочкам, заключается самый важный момент в арифметическом развитии ребенка.

Наблюдения Раншбурга и его учеников над глубоко отсталыми детьми показали, что у этих детей трудно вызвать переход от непосредственной реакции на количество к реакции, привлекающей в качестве подсобного средства ту фигуру, которая служит единицей. Оказывается, наша десятичная система затруднительна и почти непостижима для глубоко отсталых. Выше первого десятка такой ребенок не идет. Система как таковая им не усваивается. Как говорит Раншбург, в развитии ребенка имеется важный симптом, по которому можно предугадать, как пойдет усвоение арифметики. Если ребенок не прибегает к тем приемам деления, о которых я говорил, то есть все основания ожидать, что он окажется неспособным к восприятию культурной арифметики. Основная культура в развитии счета заключается в том, что происходит переход от непосредственного восприятия количества к опосредованному, к тому, что ребенок начинает приравнивать количества к известным знакам, оперировать с такими знаками.

Чтобы закончить с дошкольной арифметикой, придется указать на последний этап, который проходит ее развитие. Довольно скоро ребенок старшего возраста натыкается на то, что способ деления при помощи «тракторов», «часов» все-таки отвлекает и силы, и внимание, и время от непосредственной задачи, стоящей перед ним. Ребенок наталкивается на арифметические трудности, одна из которых заключается в том, что остаток превышает делитель. Тогда ребенок переходит к другой, более простой форме операций. Он начинает в качестве основного вспомогательного средства пользоваться не такими конкретными формами, как «тракторы», «часы», а известными пространственными, абстрактными формами, Которые соответствуют количеству и могут делиться по единицам.

Насколько нам удалось проследить, это, видимо, последний этап в развитии дошкольной арифметики. Мы не можем сказать, по каким путям пошло бы дальнейшее развитие, если бы ребенок был предоставлен самому себе, если бы он не попадал в школу и не обучался нашей системе счета, если бы он дальше развивался естественным, натуральным путем. Практически мы не наблюдаем этого. Почти всегда возникают чрезвычайно ответственные моменты в развитии ребенка, всегда происходит столкновение его арифметики с другой формой арифметики, которой его обучают взрослые. Педагог и психолог должны знать, что усвоение ребенком культурной арифметики является конфликтным.

Иначе говоря, здесь развитие заключается в известном переломе, в известном столкновении, в известной коллизии между теми формами оперирования с количеством, которые ребенок выработал сам, и теми, которые ему предлагают взрослые. До сих пор психологи и математики делятся на два лагеря. Одни говорят, что процесс усвоения арифметики идет более или менее по прямой линии, что дошкольная арифметика подготавливает школьную совершенно естественно, как лепет ребенка подготавливает его речь. Школьный учитель только направляет ребенка и толкает его дальше в том же направлении. Другие методисты утверждают, что процесс протекает совсем иначе. От дошкольной стадии к школьной происходит известный перелом, переход с одного пути на другой. Это смещение знаменует собой поворотный пункт в арифметическом развитии ребенка.

Ребенок от непосредственного восприятия количества переходит к опосредованному опытом, т. е. к овладению знаками, цифрами, к правилам их обозначения, к тем правилам, которыми мы пользуемся и которые заключаются в том, что оперирование предметами заменяется оперированием числовыми системами. Если мы хотим разделить известное количество предметов между определенным числом участников, то мы сначала подсчитываем предметы и участников. Затем производится арифметическая операция деления. Момент, когда ребенок от непосредственной реакции на количество переходит к отвлеченным операциям над знаками, и является моментом конфликтным. Он создает коллизию между прежней линией развития и той, которая начинается при усвоении школьных знаков.

Мы не можем представить, что развитие идет по совершенно прямой линии. Здесь много скачков, переломов, поворотов. Интересно взять для наблюдения детей, которые, с одной стороны, еще не умеют считать по-настоящему, но уже имеют начатки обычного счета, а с другой—еще не оставили вполне «натуральную арифметику». Стоит это сделать, и мы увидим, что оба способа счета вступают в конфликт, отталкивают один другой. Здесь мы подходим к основному хорошо известному методическому спору в арифметике: каким образом учить счету—путем ли численных фигур или путем выведения счетного ряда.

Мы задавались вопросом, в каком отношении находится счет и восприятие ребенка. Мы видели, что на первой ступени развития форма является вспомогательным средством для счета. Мы приводили простой пример, где легче заметить отсутствие одного человека—в роте солдат или в толпе. Форма, т. е. известное упорядочение и правильность самого зрительного впечатления,— важнейшая опора для правильного схватывания количества. Первая стадия развития ребенка—упорядочение формы и восприятие ее—самая важная; она является стимулом для развития восприятия количества. Возьмите простую игру в домино, и вы увидите, что ребенок, не зная счета, может играть в. домино, схватывая фигуры 2 и 2. Совершенно ясно, что упорядоченная форма в высшей степени стимулирует, помогает развитию арифметики примитивной, натуральной. Отсюда следует, что для различных систем счета можно использовать различные предметы. Совершенно ясно, что не всегда можно считать одной и той же единицей.

До овладения счетом числовое восприятие является функцией от восприятия формы. Так, если ребенок будет считать кубики, расположенные крестом, он может получить на один кубик больше: он два раза засчитывает один и тот же центральный кубик, заполняющий формально место в двух рядах—горизонтальном и вертикальном. Ребенок не догадывается миновать этот кубик, т. е. отвлечься от формы. Такую работу недавно провели наши сотрудники. Собранные ими материалы показали: чем выше дети в возрастном и культурном развитии, тем меньше они делают таких ошибок. Если поставить более сложную фигуру (квадрат из кубиков и другой квадрат, пересекающий первый), получается ряд кубиков, которые входят в оба квадрата. Счет здесь получается еще более запутанный. Как общее правило мы можем высказать положение: ребенок, который овладел формой, дает правильный счет, а ребенок, который заблудился в форме, заблудился и в счете. Но стоит лишь дать квадраты разного цвета, стоит только облегчить конфликт, и мы увидим, как падает число ошибок, допускаемых детьми.

У ребенка, стоящего на переломе от арифметики «натуральной» к «культурной», коренным образом изменяется соотношение восприятия формы и арифметической операции. Если раньше форма помогала арифметической операции, то сейчас начинает затруднять эту операцию. Мы приближаемся к основному методическому спору, разделяющему преподавателей и психологов на два лагеря. Некоторые авторы говорят, что арифметика ребенка развивается из непосредственного восприятия числовых фигур и, значит, нужно учиться на числовых фигурах—палочках, точках, единицах, двойках. Другие говорят, что ребенка нужно учить не на числовых фигурах, где количества даны всегда в известных формах, а нужно скорее от них освободиться, возможно быстрее перейти к счету опосредованному. В. Лай и другие сторонники метода числовых фигур в многочисленных опытах доказывали, что ребенок, который производит счетные операции при помощи числовых фигур, наглядных образов, гораздо быстрее справляется с этими операциями.

Казалось бы, спор решен: эксперименты доказали, что наглядный способ легче и дает гораздо лучший эффект, чем другие способы. На самом деле спор разгорелся только после того, как были выдвинуты экспериментальные доказательства. Вопрос еще не решается тем, что ребенок легче овладевает данным приемом, чем другим. Он легче овладевает счетными операциями потому, что весь ход предшествовавшего развития подготавливал ребенка так относиться к количествам. Мы видели, что вся дошкольная арифметика в значительной части является арифметикой непосредственного восприятия количеств, непосредственного оперирования с количествами. Но, спрашивается, ведет ли этот прием к той арифметике, которой обучают ребенка взрослые?

Это решается только в зависимости от ряда условий. Если встать на точку зрения, что школьное развитие арифметики является прямым продолжением дошкольной, тогда правы сторонники числовых фигур. Они скажут: то, что ребенок делал, когда учился «естественной» арифметике, он будет делать и здесь, с известным систематическим методическим подходом. Если встать на другую точку зрения и принять во внимание, что дошкольная арифметика отличается: от школьной, что ребенок переходит от непосредственного восприятия количества к опосредованному, то будет ясно иное: хотя для ребенка оперировать с числовыми фигурами легче, но это не входит в культурную арифметику, а уводит от нее в сторону; это упрочивает тесную связь между количеством и восприятием формы, от чего ребенок должен освободиться; это задерживает ребенка на более низкой ступени развития.

Таким образом, главное положение заключается в следующем: на известной ступени развития ребенок приходит к пониманию ограниченности своей арифметики и начинает переходить к арифметике опосредованной. В роли чисел выступают «тракторы», «часы» и другие фигуры. Здесь возникает конфликт между нашей счетной системой и непосредственным восприятием фигур. Школьная арифметика представляет поворотный момент. Хотя дошкольная арифметика вступает в конфликт со школьной, это не значит, что школа чисто механически подходит к ребенку. В столкновении возникает новая, дальнейшая ступень развития счета.